Ponente
Descripción
La obtención de soluciones numéricas de las distintas variantes de la ecuación de Helmholtz,Δϕ+k^2 ϕ=fdondek∈R_+ y f,ϕ:R^n→C, es un problema muy estudiado. En particular, la matriz de coeficientes del sistema de ecuaciones lineales derivado de la discretización de la ecuación, tantopor el método de Diferencias Finitas (FDM) como por el de Elementos Finitos (FEM), espor lo general mal condicionada. Incluso, los métodos iterativos basados en subespacios de Krylovfallan en ocasiones en que la matriz de coeficientes posee valores propios muy pequeños, por lo que se ha estudiado el uso de precondicionadores para acelerar la convergencia de estos métodos. En 2006, Y.A. Erlangga, C.W. Oosterlee y C. Vuik introdujeron el precondicionadorLaplaciano con Desplazamiento Complejo (CSLP, en inglés ComplexShiftedLaplacianPreconditioner), cuyo uso se ha estandarizado aunque no es infalible. La ecuación de Helmholtz en una dimensión (1D)homogénea (f≡0) con condiciones de frontera complejas de Dirichlet y Robin, tiene solución analítica conocida. Este trabajo se propone obtener aproximaciones numéricas de calidad de esta solución para grandes valores de k. Se utilizará en la discretización de la ecuación tanto FDM como FEM. Para la solución del sistema de ecuaciones lineales se empleará el método basado en subespacios de Krylov de Mínimo Residuo Generalizado (GMRES por sus siglas en inglés), adicionando el uso del CSLP y de su factorización incompleta LU. Finalmente, se proponen experimentos numéricos con comparaciones entre los métodos utilizados en cuanto a su eficiencia y la calidad de las aproximaciones obtenidas.
